Primordial black holes (PBHs) are a major candidate for dark matter, expected to form from the collapse of large density fluctuations generated during inflation. Their abundance is highly sensitive to non-linear effects, some of which can be described through the δN formalism. This approach models the universe as a set of locally homogeneous patches evolving independently throughout inflation. However, accounting for the spatial correlations between these patches is crucial to predicting the spatial distribution of PBHs and the formation of clusters.

In this talk, after reviewing the δN formalism, I will show how to include spatial correlations within this framework. As an illustration, I will discuss the ultra-slow-roll model and compute the curvature perturbation ζ — necessary to determine PBH formation — and its spatial correlations at the end of inflation. In the future, this could enable the prediction of PBH binaries and clusters, which may leave observable imprints such as gravitational waves.

原始ブラックホール（PBH）は暗黒物質の有力な候補であり、インフレーション期に生じた大きな密度揺らぎの崩壊によって形成されると考えられています。その存在量は非線形効果に強く依存しており、これらの効果の一部は δN 形式（δN formalism）を用いて記述できます。この形式では、宇宙を局所的に一様なパッチの集合としてモデル化し、それぞれがインフレーション中に独立して進化すると仮定します。しかし、PBHの空間分布やクラスター形成を予測するためには、パッチ間の空間的相関を考慮することが不可欠です。

本講演では、まず δN 形式の概要をレビューしたあとに、この枠組みに空間的相関を取り込む方法を紹介します。具体例として、ウルトラスロー・ロールモデルを用い、インフレーション終了時にPBH形成に不可欠な曲率摂動 ζ とその空間的相関を計算します。将来的には、この手法によりPBHの連星やクラスターの形成を予測できるようになり、それらが重力波などの観測可能なシグナルとして現れる可能性があります。